关于arctanx的麦克劳林展开式推导

关于arctanx的麦克劳林展开式推导： 先把结论写上： a r c t a n x = x − 1 3 x 3 + 1 5 x 5 − ⋯ + ( − 1 ) n x 2 n + 1 2 n + 1 + ⋯ ( − 1 ⩽ x ⩽ 1 ) = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n x 2 n + 1 2 n + 1 ( − 1 ⩽ x ⩽ 1 ) \begin{aligned} arctanx=&x-\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{5}x^5-\cdots+(-1)^{n}\frac{x^{2n+1}}{2n+1}+\cdots &(-1 \leqslant x \leqslant 1)\\ =&\sum_{n=0}^\infty(-1)^{n}\frac{x^{2n+1}}{2n+1}&(-1 \leqslant x \leqslant 1)\\ \end{aligned} arctanx==​x−31​x3+51​x5−⋯+(−1)n2n+1x2n+1​+⋯n=0∑∞​(−1)n2n+1x2n+1​​(−1⩽x⩽1)(−1⩽x⩽1)​

关于这个式子，最简洁的证明用到了级数的一些知识；第二种是我自己瞎jb推的，比较繁琐，也不严谨，但是学完了泰勒展开就能推

求导，再由等比级数展开: ( a r c t a n x ) ′ = 1 1 + x 2 = 1 − x 2 + x 4 − ⋯ + ( − x 2 ) n + ⋯     ( − 1 < x < 1 ) = ∑ n = 0 ∞ ( − x 2 ) n ( − 1 < x < 1 ) \begin{aligned} (arctanx)'=&\frac{1}{1+x^2}\\ =&1-x^2+x^4-\cdots+(-x^2)^n+\cdots\ \ \ &(-1